Paradoks Ulang Tahun
Dalam sebuah pesta yang dihadiri 18 orang, berapakah peluang 2 dari mereka memiliki hari ulang tahun yang sama? Jika kita mengambil asumsi bahwa ada 365 hari dalam satu tahun (untuk menyederhanakan perhitungan, kita abaikan tahun kabisat), maka ada 365 hari ulang tahun. Sekilas nampaknya sangat kecil peluang bahwa di antara 30 orang tersebut ada 2 yang memiliki hari ulang tahun yang sama. Seberapa kecilkah kemungkinan atau peluangnya? Percayakah anda bahwa sebenarnya ada lebih dari 50% peluang 2 orang dari mereka memiliki hari ulang tahun yang sama?
Kadang kala, intuisi kita tidak dapat dipercaya. Misalnya dalam kasus ulang tahun ini. Intuisi kita akan mengatakan bahwa peluang kejadian di atas adalah sangat kecil. Masalah atau kasus di atas dikenal dengan nama Paradoks Ulang Tahun. Marilah kita coba untuk menghitung secara matematis, berapakah peluangnya.
Untuk menghitung peluang kejadian 2 orang dari 18 memiliki hari ulang tahun yang sama sebenarnya sangat rumit dan sulit. Tetapi menghitung peluang dari kejadian yang berlawanan dari itu lebih mudah, yaitu menghitung peluang bahwa tidak ada seorang pun dari 30 orang itu yang memiliki hari ulang tahun yang sama. Dengan kata lain, peluang kejadian 30 orang itu memiliki hari ulang tahun yang berbeda-beda. Marilah kita rumuskan secara matematis sebagai berikut:
Jika P(A) adalah peluang kejadian paling sedikit ada dua orang di pesta itu memiliki hari ulang tahun yang sama. Maka P(A) adalah peluang kejadian tidak ada orang yang memiliki hari ulang tahun yang sama di pesta itu.
P(A) dan P(A) adalah dua kejadian yang mungkin terjadi, dan keduanya adalah kejadian saling terpisah. Jadi,
P(A) + P(A) = 1
P(A) dan P(A) adalah dua kejadian yang mungkin terjadi, dan keduanya adalah kejadian saling terpisah. Jadi,
P(A) + P(A) = 1
P(A) = 1 − P(A)
Lihat penjelasan tentang peluang, terutama tentang komplemen sebuah kejadian dankejadian saling terpisah.
Berapakah nilai P(A)?
Marilah kita coba menyederhanakan persoalan ini. Untuk perhitungan-perhitungan selanjutnya, kita ambil asumsi bahwa satu tahun terdiri atas 365 hari dan setiap hari memiliki peluang yang sama untuk menjadi hari ulang tahun seseorang.
- Misalnya hanya ada 1 orang. Peluang dari 1 orang tidak memiliki hari ulang tahun yang sama dengan orang lain adalah 1 (karena tidak ada orang lain).
- Misalnya ada 2 orang. Peluang dari 2 orang itu tidak memiliki hari ulang tahun yang sama adalah
365/365 × 364/365.
Mengapa demikian? Orang pertama bisa memilih hari yang mana saja dari 365, tetapi orang kedua hanya bisa memilih dari 364 hari agar memiliki hari ulang tahun yang berbeda. - Bagaimana dengan 3 orang? Peluangnya adalah
365/365 × 364/365 × 363/365. - Dapat kita lihat polanya di sini dan untuk n orang, peluangnya adalah
365/365 × 364/365 × 363/365 × … × (365−n+1)/365
Rumus di atas dapat kita sederhanakan sebagai berikut:
| P(A) = | n! × 365Cn |
| 365n |
Lihat juga halaman tentang Permutasi dan Kombinasi untuk belajar tentang rumus menghitung kombinasi.
Setelah kita dapatkan nilai P(A), kita bisa menghitung nilai P(A), yaitu 1 − P(A).
Kembali ke persoalan kita di atas, untuk 18 orang, peluangnya adalah sekitar 0.347. Jauh dari perkiraan yang kita dapatkan dari intuisi kita yang mengatakan peluangnya adalah cukup besar.
